如何证明假设是成立的?

2023年10月14日15:49:24如何证明假设是成立的?已关闭评论

对于推理来说,并不是所有的论证都有明确的依据,有时候我们得依赖于假设来寻求需要的答案。那么,如何证明假设是否成立呢?最有效的一种方法就是反证法。

反证法,又称为归谬法或背理法,是“间接证明法”中的一类,英文名称为Proof by Contradiction。在逻辑学中,它是一种非常重要的论证方式,是从反方向证明的一种证明方法。反证法通常先要假设某个命题不成立,也就是说在原命题的条件下,所得出的结论是不成立的。然后根据推理,找出明显的矛盾,得出结论以证明原假设不成立,以证明原命题成立。简单来说,就是肯定假设,而否定结论,从而得出矛盾的过程。正如法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法高度概括的那样:“如果肯定定理的假设,而否定它的结论,就会导致矛盾的发生。”因此,反证法的证题,可以简单地概括为“否定→得出矛盾→否定”的形式,也就是从否定命题的结论开始,得出矛盾的结果,再形成新的否定。

反证法在数学中应用得非常多。如果论题不容易从正面得到证明,或者正面证明困难,情况多或者复杂的时候,这时我们就需要运用反证法来证明。

举个例子:

一家饮料店里有容量分别为9升、12升、15升、17升、19升和27升的6个木桶,每个木桶里都装满了可乐或者葡萄酒。其中,买3升可乐的价钱可以买1升葡萄酒。有天,有人买走了其中的5桶,可乐和葡萄酒的价钱一共付了462元。那么,这个人各买了几升可乐?几升葡萄酒?

我们来看一下。根据题意我们可以得出,客人花了462元买的可乐的容量,是花相同价钱买的葡萄酒的3倍。因此,我们可以根据此条件,运用反证法来做出如下的假设和推理:

假设一:如果此人买的27升的可乐,那么买的葡萄酒就是9升。这样的话,他就只买了2桶或者3桶(9升葡萄酒,12升和15升的可乐各一桶),与原题的买了5桶相违背,所以此假设不成立。

假设二:如果此人买的是12升的葡萄酒,那么,他的买的可乐就是36升,17升的一桶和19升的一桶,这样的话他也只买了3桶,与原题相违背,因此假设不成立。

假设三:如果此人买了15升葡萄酒,那么按照前题条件,可乐就应该是45升,分别是9升、17升和19升,那也只是买了4桶,与原题的买5桶相违背,假设不成立。

同样的假设可得知,无论是买17升,还是19升或27升的葡萄酒,都会遇到上述假设中的问题,因此,都不可能。那么,假设买的葡萄酒是9升和12升的,那么根据前提条件可得知,可乐应该是63升,即15升、17升、27升,这样的话恰好就是5个桶,还剩下了15升的桶没有买。如此可以证明,假设成立。

由上假设和推理可知,此人买了21升葡萄酒,它们分别是9升和12升的木桶;买了63升可乐,它们分别是15升、17升、27升的三个木桶。

由以上反证法的事例可以得知,我们要证明假设是否成立,反证法的步骤可以归纳为如下过程:

假设命题的结论不成立,也就是假设结论的反面是成立的

从以上假设出发,通过推理,得出和反面命题相矛盾的结论

这个矛盾证明,假设不成立,从而得出原命题的结论正确

以上步骤可以看出,反证法即是从否定结论开始的,从否定结论到得出矛盾,再达到新的否定。从中我们不难看出,反证法的基本思想,就是辩证的“否定之否定”。在简易逻辑中,反证法多用于唯一性命题和否定性命题,或者是“至多”“至少”型的命题。那么,反证法的矛盾来自哪里呢?它一般是与原命题相矛盾的条件,或者是导出的与假设相矛盾的命题,或者直接导出的一个假命题。

在推论过程中,如果我们无法从正面论证以得出正确的结论,不妨试试反证法,就可以判断之前的假设论证是否合理有效。

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