悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，但是表面上又能自圆其说的命题或者理论体系。通俗来讲，就是从一些大家公认的前提出发，经过严格的逻辑推理后，最后却得出了不能接受的结论。罗素悖论就是最经典的悖论之一，其中最著名的有理发师悖论等。
在某个城市中有一位理发师，一时兴起，在他理发店门外的墙上挂上这样一幅宣传海报：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己理发的人理发，我也只给这些人理发。我对各位表示热诚欢迎。”确实，这位理发师门前前来理发的客人络绎不绝。可是有一天，他从镜子里看见自己的头发变长了，他本能地拿起剪子准备给自己理发。可是他突然想起自己店外挂的宣传海报，拿剪刀的手愣在空中。如果他给自己理发，他就属于“给自己理发的人”，这样他就不该给自己理发；如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每一个人都看作一个集合，那么这个集合的元素就被定义为这个人理发的对象。那么根据这个推理，理发师海报上所宣称的，他的元素都是城里不能给自己理发的人的那些集合，并且城里所有不能给自己理发的人的集合都属于他。那么问题就在于，他是否能给自己理发呢？这样的话，根据理发师悖论就得到了罗素悖论。
我们再来看一些其他的例子。
古希腊著名的传奇诗人艾普蒙尼迪斯，曾经提出一个闻名中外的悖论：“所有的科莱特人都是说谎者。”问题的关键在于，他自己就是一个科莱特人，那么，他说的这句话到底是不是属实呢？
我们来推理一下他说的话：如果诚实的人是指从不说谎话的人，那么诚实者总是说真话，说谎的人总是说谎言。那么，“所有的科莱特人都是说谎者”这个结论从逻辑上来说，是自相矛盾的，是错误的。如果艾普蒙尼迪斯是个说谎的人，那么他的这句话就是错的，也就是说科莱特人不是说谎者，他也是科莱特人，所以他也不是说谎者，那就违背了“所有的科莱特人都是说谎者”的观点；如果艾普蒙尼迪斯是个诚实的人，那么他的这个观点就是正确的，可是他是科莱特人，所以也一定是个说谎的人。无论怎样推理，都是互相矛盾的，都逃不出悖论的怪圈。
在上面所说的罗素悖论中，包含着集合的基本概念、概括原则以及一些基本的推理原则。在不断推理后，最后推出了一个矛盾。在一个悖论中，错误的结论既可以是一个矛盾，也可以是一个已经被证明的错误结论。我们来看下面的这些例子：
例1 我正在说谎。
在上面这个句子中，如果假定我说的是真话，那么“我正在说谎”就不成立；如果我确实正在说谎，那么我说的就不是谎话。
例2 这句话是假的。
如果这句话是真的，从字面意思来说，这句话就是假的；如果这句话是假的，那么按照字面意思，其实这句话是真的。
例3 一位母亲带着小孩在河边洗衣服，一条鳄鱼游上岸抢走了小孩子。母亲悲痛万分，哀求鳄鱼放过她的孩子。鳄鱼说：“我问你一个问题，如果你答对了，我就不吃你的孩子。那么，问题是：我会不会吃掉你的孩子？”母亲低头思考了一会，说：“你是想要吃掉我的孩子的。”鳄鱼哈哈大笑，说：“如果我把孩子还给你，你就说错了，所以我可以吃掉你的孩子。”这位母亲立刻反驳道：“不，不是这样的。如果你吃掉了我的孩子，就表示我说对了，你该把孩子还给我。”鳄鱼愣住了，把孩子还给了母亲。
这是古希腊流传着一个神话故事。上面这个悖论中，母亲的话让鳄鱼左右为难。如果把孩子交给这位母亲，母亲的话就是错的，它就可以吃掉孩子；可是如果它吃掉孩子，却又证明了母亲说的话是对的。母亲利用这一悖论，成功地救回了自己的孩子。鳄鱼悖论与说谎者悖论都是一种否定性的“自我关联”，从而造成自相矛盾。
例4 古希腊有一个国王，有一次要处死一批囚徒。囚徒们被押到刑场，痛哭流涕。看到这样的情景，国王突然产生一个念头，他对囚徒们说：“我让你们自己挑选一种死法，要么被砍头，要么被绞死。你们可以随意说一句话，如果是真话，你们就被绞死；如果是假话，你们就被砍头。”这时，一名囚犯站出来对国王说：“你要砍我们的头。”国王听了左右为难，最后只得挥挥手，这批囚犯幸运地逃过一劫。
在这个故事中，这名聪明的囚犯就利用了悖论使自己和其他囚犯得以获救。我们来看看：国王说真话被绞死，假话被砍头。囚犯说“你要砍我们的头”，如果这句话是真的，那么他就说的是真话，这样的话就该被绞死；如果他说的是假话，假话就应该被砍头，那这样的话，他的话就又变成了真话。国王既不能判他被绞死，又不能砍他的头，只得放人。
为了保持思维的一致性，人们总是想方设法地消除悖论，但生活中有经常出现悖论的情况。悖论总是在不断地启发着人们进行更加深入的思考。对于罗素悖论这样严格的理论悖论，就需要认真推理，从中找出导致悖论的原因，才能避免陷入悖论的怪圈，出现逻辑上的错误。
