1918年，英国大哲学家、数学家罗素以故事形式提出了一个悖论。故事说的是有一位理发师，他的原则是只为城里那些不给自己刮胡子的人刮胡子。有一天，理发师发现自己的胡子也需要刮了，于是问题便出现了，他究竟该不该给自己刮胡子呢？如果他不给自己刮胡子，那么他就属于这个城里不给自己刮胡子的人，按照他的原则他就应该给自己刮胡子；如果他给自己刮胡子，那么按照他的原则他就不应该给自己刮胡子。因此，无论他是否给自己刮胡子，这位理发师都将遭遇矛盾。这便是著名的“理发师悖论”，也称“罗素悖论”。
“理发师悖论”不仅给理发师带来了难题，更是引发了数学史上的第三次危机。“理发师悖论”涉及“集合”的概念，简单地说，数学中的集合指由一个或多个确定的元素构成的整体。如果把“理发师悖论”转化成数学问题，可以大致作如下表述：假设有两类集合，第一类集合中的元素不包含自身，第二类集合则以自身作为元素。假设集合P是第一类集合，那么它就是一个不包含自身的集合，既然它包含所有不包含自身的集合，那么它也应该包含自身。这就相当于如果理发师不给自己理发，那么他就应该给自己理发。假设集合P是第二类集合，那么它就该以自身为元素，而P却是一个包含着不包含自身的集合的集合，所以它就不能包含自身。这就相当于，当理发师想为自己刮胡子时，他无奈地发现又回到了不该给自己刮胡子的处境。上述便是罗素悖论在数学上的意义。
这一悖论之所以会引发从19世纪末到20世纪的第三次数学危机，是因为它撼动了由康托尔等人奠定的集合论的基础，这犹如一个科学家在他的研究工作即将结束时，发现其工作的基础崩溃了。集合论被认为是现代数学的基石，“罗素悖论”则从根基上动摇了它，这在数学界和逻辑学界引起了极大的震动。自此之后，数学家们致力于从根本上解决这一悖论。目前比较公认的观点是，虽然聪明的数学家想出了各种各样的办法来修正集合论的基础，但问题的解决似乎总是不够完美。纯粹、严密的数学大厦那本该是具有完全确定性的基础依然受到动摇。因此，从这个意义上来说，第三次数学危机的余波仍未平息。
