二、行星运动规律的发现
开普勒平生爱好数学，他也和古希腊学者们一样，十分重视数的作用，总想在自然界寻找数量的规律性（早期希腊学者称之为“和谐”）。规律越简单，从数学上看就越好，在他看来就越接近自然。他之所以信奉哥白尼体系，正是因为日心说在数学上显得更简单、更和谐。他说：“我从灵魂深处证明它是真实的，我以难以相信的欢乐心情去欣赏它的美。”他在接受哥白尼体系后就专心探求隐藏在行星中的数量关系，深信上帝是依照完美的数学原则创造世界的。
1598年，奥地利暴发宗教冲突。天主教徒用凶残的惩罚来恫吓开普勒，他被迫离开奥地利，逃到匈牙利隐蔽起来。不久，他接到在布拉格路德福国王宫廷内任职的第谷的邀请，去协助整理观测资料和编制新星表。1600年，开普勒携眷来到布拉格，任第谷的助手。具有讽刺意味的是，这两位学者，一个始终是哥白尼体系的反对者，另一个则是该体系的衷心拥护者。这是开普勒最快乐的时光，他不再为生活而发愁，专心从事天文学研究。然而很不幸，他们相处没有多久，第谷便于第二年（1601年）去世，这位被称为“星学之王”的天文观测家把他毕生积累的大量精确的观测资料全部留给了开普勒。他生前曾多次告诫开普勒：一定要尊重观测事实。开普勒继任第谷的工作，任务是编制一张同第谷记录中的成千个数据相协调的行星运行表。虽然他得到“皇家数理家”的头衔，但宫廷不发给他应得的俸禄，开普勒不得不再从事星相术来糊口。第谷的观测记录到了开普勒手中，发挥了意想不到的惊人作用，使开普勒的工作变得严肃起来。他发现自己的得意杰作——开普勒宇宙模型，在分析第谷的观测数据、制定行星运行表时毫无用处，不得不把它摒弃。无论是哥白尼体系、托勒密体系，还是第谷体系，没有一个能与第谷的精确观测相符合。这就使他决心查明理论与观测不一致的原因，全力揭开行星运动之谜。为此，开普勒决定把天体空间当作实际空间来研究，用观测手段探求行星的“真实”轨道。
开普勒的目光首先盯住火星，这是因为第谷的数据中对火星的观测占有最大篇幅。恰好，就是这个行星的运行与哥白尼体系出入最大。开普勒按照传统的偏心圆来探究火星的轨道，做了大量尝试，在大约进行了70次的试探之后，才算找到一个与事实相当符合的方案。令开普勒感到惊愕的是，当超出所用数据的范围继续试探时，他又发现与第谷的其他数据不符……
开普勒诙谐地写道：“我预备征服战神马尔斯，把它俘虏到我的星表中来，我已为它准备了枷锁，但是我忽然感到对胜利毫无把握……这个星空中狡黠的家伙，出乎意料地扯断我给它戴上的用方程连成的枷锁，从星表的囚笼中冲出来，逃往自由的宇宙空间去了。”开普勒计算出来的火星位置和第谷数据之间相差8分，即1.133度（这个角度相当于表上的秒针在0.02秒瞬间转过的角度）。会不会是第谷弄错了呢？或是寒冷的冬夜把第谷的手指冻僵了，以致观测失误了呢？不会！开普勒完全信赖第谷观测的辛勤与精密，即使是这样微小的数值，第谷也是不会弄错的。他说：“上天给我们一位像第谷这样的观测者，应该感谢神灵的这个恩赐。一经认识这是我们使用的假说上的错误，便应竭尽全力去发现天体运动的真正规律……这8分是不允许忽略的，它使我走上改革整个天文学的道路。”可见，这两位天文学大师的工作在当时已达到何等惊人的精确性。
当开普勒意识到始终无法找出一个符合第谷观测数据的圆形轨道后，他就大胆摒弃这种古老的、曾寄希望的匀速圆周运动的偏见，尝试用别的几何曲线来表示所观测到的火星的运动。开普勒认为行星运动的焦点应在施加引力的中心天体——太阳的中心。从这点出发，他断定火星运动的线速度是变化的，而这种变化应当与和太阳的距离有关：当火星在轨道上接近太阳时，速度最快；远离太阳时，速度最慢。他还认为火星在轨道上速度最快与最慢的两点，其向径围绕太阳在一天内所扫过的面积是相等的。然后，他又将这两点外面积的相等性推广到轨道上所有的点上。这样便得出面积与时间成正比的定律。
随后，开普勒看出火星的轨道有点像卵形（幸运的是，他首先选中火星，而火星轨道的偏心率在行星中是相对较大的），连接极大与极小速度两点方向的直径似乎伸得长些。最终，他终于认识到火星是在椭圆的轨道上运动的。椭圆是人们比较熟悉的几何图形：我们可以从木工师傅那里学到它的机械画法——在木板上先定出两个点，钉上钉子，取一段定长而无伸缩性的线，把它的两端固定在钉子上，用铅笔套在里面，然后把线拉紧，慢慢移动铅笔，这样画出来的曲线便是一个椭圆。
太阳系各个行星轨道的具体形状稍有不同。一般而言，它们的偏心率都很小，同圆形只有微小的差异，所以行星轨道可以近似地看作圆形，太阳的位置也可以近似地看作位于轨道的中心。这便是当年使开普勒绞尽脑汁的原因。这一回又是几何学帮了天文学的大忙。假如没有古希腊人对圆锥曲线（平面截割圆锥所形成的曲线）的研究，这些美妙的定律也许不可能被发现。由于椭圆是圆锥曲线的一种，它那种圆而带扁的形状使开普勒想到火星可能在这样一种曲线的轨道上运动。接着，利用古代几何学家寻找出来的圆锥曲线的许多性质，他肯定自己的假设是正确的，并将这两项发现推广到所有行星。
1609年，开普勒出版了《新天文学》一书并发表《论火星运动》一文，公布了两个定律：（1）所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。这是行星运动第一定律（也叫轨道定律）。（2）在同样的时间里，行星矢径在其轨道平面上所扫过的面积相等。这是行星运动的第二定律（也叫面积定律）。开普勒虽然摒弃了行星等速度运动的偏见，但仍维护这一原则，只是把线速度相等换成了“面速度”相等。这使开普勒感到分外高兴，因为有了这个定律，就可以计算任何时刻行星在轨道上的位置。这两个重要的定律相继被发现后，编制星表一事便轻而易举了。不仅“行踪诡秘”的火星永远逃不出星表的“囚笼”，沿开普勒给定的椭圆轨道运行，其余各个行星也都相继“被俘”。
开普勒并不满足于已取得的成就，他感到自己远远没有揭开行星运动的全部奥秘。他相信还存在着一个把全部行星系统连成一个整体的完整定律。古人给了他启示，行星运行的快慢同它们的轨道位置有关，较远的行星有较长的运行周期。第二定律也表明，即使在同一轨道上，行星速度也因距太阳远近而变化。沿着这条思路，开普勒确信行星运动的周期与它们的轨道大小之间应该是“和谐”的，他要找出其间的数量关系来。开普勒是怎样寻找这个关系的呢？他面对的只是一些观测数据，现在要在它们背后找出隐藏着的自然规律，就要求这位天文学家具有高度惊人的毅力和耐心。开普勒和哥白尼一样，并不知道行星与太阳之间的实际距离，只知道它们距太阳的相对远近。他把地球作为比较标准：以日地平均距离（天文单位）为距离单位，以地球绕太阳运动周期（一年）为时间单位，把各个行星的公转周期（T）及它们与太阳的平均距离（R）排列成一个表，以探讨它们之间存在什么数量关系。苦战9年之久，经过无数次的失败，开普勒终于找到了一个奇妙的规律，即开普勒第三定律——行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。
