举例说明什么是直接证明法和间接证明法

1．直接证明

假定 p 为真，通过使用公理或已证明的定理以及正确的推理规则证明 q 也为真，以此证明蕴含式 p → q 为真。这种证明方法为直接证明法。

例1 用直接证明法证明“若 p 是偶数，则 p ² 是偶数”。

证明：假定 p 是偶数为真，设 p =2 k （ k 为整数）。由此可得， p ² =2（2 k ² ）。因此， p ² 是偶数（它是一个整数的2 倍）。

2．间接证明

因为蕴含式 p → q 与其逆否命题¬ q →¬ p 等价，因此可以通过证明¬ q →¬ p 来证明蕴含式 p → q 为真。这种证明方法为间接证明法。

例2 用间接证明法证明“若 p ² 是偶数，则 p 是偶数”。

证明：假定此蕴含式后件为假，即假定 p 是奇数。则对某个整数 k 来说有 p =2 k +1。由此可得 p ² =4 k ² +4 k +1=2（2 k ² +2 k ）+1，因此， p ² 是奇数（它是一个整数的2 倍加1）。因为对这个蕴含式后件的否定蕴含着前件为假，因此该蕴含式为真。