三段论的公理
所谓公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律。比如“过两点有且只有一条直线”“同位角相等，两直线平行”等都是数学公理。逻辑学中，三段论的公理即是：
对一类事物的全部有所肯定或否定，就是对该类事物的部分也有所肯定或否定。
1.对一类事物的全部有所肯定，就是对该类事物的部分也有所肯定。
看下面这则故事：
明朝的戴大宾幼时即被人们誉为“神童”，特别善于联诗作对。一次，一个显贵想看看戴大宾是否名副其实，便想出对考他。显贵首先出对道：“月圆。”戴大宾随即对道：“风扁。”显贵嘲笑道：“月自然是圆的，风如何是扁的呢？”戴大宾道：“风见缝就钻，不扁怎么行？”显贵又出对道：“凤鸣。”戴大宾从容不迫道：“牛舞。”显贵又讥笑道：“牛如何能舞？这次肯定不通。”戴大宾笑道：“《尚书·虞书·益稷》上说：‘击石拊石，百兽率舞’，牛亦属百兽之列，如何不能舞？”显贵俯首叹服。
这则故事中，包含着两个三段论推理：
（1）能钻缝的都是扁的，
风是能钻缝的，
所以，风是扁的。
（2）兽都是能舞的，
牛是兽，
所以，牛是能舞的。
推理（1）肯定“能钻缝的都是扁的”，而“风是能钻缝的”的事物中的一部分，那么就必然可以肯定“风是扁的”了；推理（2）肯定“兽都是能舞的”，而“牛是兽”的一种，那么也就必然可以肯定“牛是能舞的”了。
这就是对三段论公理中“对一类事物的全部有所肯定，就是对该类事物的部分也有所肯定”的运用。上面两个三段论可以用下面这个逻辑形式来表示：
所有M都是P，所有S都是M，
所以，所有S都是P。
我们可以用S（小项）、M（中项）、P（大项）的图示来表示三段论公理肯定方面的含义如图1：
图1
从图1可以看出，对事物P的全部有所肯定，就是对它的部分M和S有所肯定。
2.对一类事物的全部有所否定，就是对该类事物的部分也有所否定。比如：
（1）不能制造和使用工具的动物不是人，虎是不能制造和使用工具的动物，
所以，虎不是人。
（2）草本花卉不是木本花卉，
紫罗兰是草本花卉，
所以，紫罗兰不是木本花卉。
推理（1）是对“不能制造和使用工具的动物是人”的否定，而“虎是不能制造和使用工具的动物”的一种，那么就必然可以否定“虎是人”并由此得出“虎不是人”的结论；推理（2）也可通过类似的分析得出“紫罗兰不是木本花卉”的结论。
这就是对三段论公理中“对一类事物的全部有所否定，就是对该类事物的部分也有所否定”的运用。上面两个三段论可以用下面这个逻辑形式来表示：
图2
所有M都不是P，
所有S都是M，
所以，所有S都不是P。
我们可以用S（小项）、M（中项）、P（大项）的图示来表示三段论公理否定方面的含义，如图2。
总之，三段论的公理是对客观事物中一般和个别关系的反映，是人们长期实践经验的总结，也是我们进行三段论推理的客观依据。
